Mostre que , utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a zero. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o Teorema do Confronto, que também é conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem. Esse teorema ajuda a encontrar limites limitando a função entre duas outras que já sabemos os limites.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o Teorema do Confronto diz. Ele afirma que se temos três funções , e tais que na vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e se os limites de e nesse ponto são iguais a , então o limite de também é .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos encontrar duas funções que “apertem” a nossa função . Vamos começar observando que o denominador é sempre positivo exceto no ponto .

Passo 4

Vamos analisar o numerador . Note que o valor absoluto de é . Agora, vamos comparar isso com o denominador .

Passo 5

Vamos estabelecer que:
E lembrando que , temos:

Passo 6

Então, temos:
E, a partir do Passo 5:

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Sabemos que:
Então, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

Portanto, mostramos que utilizando o Teorema do Confronto.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
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