Mostre que
, utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)
(b) O Teorema do Confronto (1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a zero. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o Teorema do Confronto, que também é conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem. Esse teorema ajuda a encontrar limites limitando a função entre duas outras que já sabemos os limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que o Teorema do Confronto diz. Ele afirma que se temos três funções
,
e
tais que
na vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e se os limites de
e
nesse ponto são iguais a
, então o limite de
também é
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos encontrar duas funções que “apertem” a nossa função
. Vamos começar observando que o denominador
é sempre positivo exceto no ponto
.
Passo 4
Vamos analisar o numerador
. Note que o valor absoluto de
é
. Agora, vamos comparar isso com o denominador
.
Passo 5
Vamos estabelecer que:
E lembrando que
, temos:
Passo 6
Então, temos:
E, a partir do Passo 5:
Passo 7
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Sabemos que:
Então, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
Portanto, mostramos que
utilizando o Teorema do Confronto.
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Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Calcule a derivada das funções a seguir:
;