Mostre que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0, utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o limite de 2xy^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a zero. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o Teorema do Confronto, que também é conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem. Esse teorema ajuda a encontrar limites limitando a função entre duas outras que já sabemos os limites.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o Teorema do Confronto diz. Ele afirma que se temos três funções f(x,y), g(x,y) e h(x,y) tais que g(x,y) <= f(x,y) <= h(x,y) na vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e se os limites de g e h nesse ponto são iguais a L, então o limite de f também é L.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos encontrar duas funções que “apertem” a nossa função 2xy^2x^2+y^2. Vamos começar observando que o denominador x^2+y^2 é sempre positivo exceto no ponto (0,0).

Passo 4

Vamos analisar o numerador 2xy^2. Note que o valor absoluto de 2xy^2 é |2xy^2| = 2|x||y|^2. Agora, vamos comparar isso com o denominador x^2+y^2.

Passo 5

Vamos estabelecer que:
|2xy^2| <= 2|x||y|^2 <= 2|x| cdot y^2
E lembrando que x^2 + y^2 >= y^2, temos:
2|x|y^2x^2+y^2 <= 2|x|y^2y^2 = 2|x|

Passo 6

Então, temos:
-2|x|y^2x^2+y^2 <= 2xy^2x^2+y^2 <= 2|x|y^2x^2+y^2
E, a partir do Passo 5:
- 2|x| <= 2xy^2x^2+y^2 <= 2|x|

Passo 7

Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Sabemos que:
lim(x,y) to (0,0) -2|x| = 0 e lim(x,y) to (0,0) 2|x| = 0
Então, pelo Teorema do Confronto:
lim(x,y) to (0,0) 2xy^2x^2+y^2 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0 utilizando o Teorema do Confronto.

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