Calcule o polinômio de Taylor, em uma vizinhança de , das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o polinômio de Taylor da função ao redor de . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor (ou séries de Maclaurin, que são as de Taylor centradas em zero) e as propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral do polinômio de Taylor de uma função em torno de :
No nosso caso, como , isso simplifica para a série de Maclaurin:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avalia-las em :
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em 0:
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em 0:
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em 0:
E assim por diante. Notamos que as derivadas de ordem ímpar avaliada em zero dão zero, e as de ordem par dão valores diferentes de zero.

Passo 4

Percebemos que só as derivadas de ordem par contribuem para os termos do polinômio de Taylor, já que as impares dão zero. Então, podemos escrever a série só com os termos de :
Isso significa:

Resposta

O polinômio de Taylor de em uma vizinhança de é:

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Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Calcule a derivada das funções a seguir:
;
Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.