Calcule a derivada das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia, que é super útil pra derivar funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como derivar funções básicas e como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, estamos vendo que a função está composta de duas partes: a função logaritmo natural e a função raiz quadrada, que é a mesma coisa que elevar a algo à potência de .

Passo 3

Agora, para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas pegando a derivada da função de fora e multiplicando pela derivada da função de dentro.

Passo 4

Vamos identificar as duas partes:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:

Passo 5

Primeiro, derivamos a função externa em relaç��o a :

Passo 6

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo de volta:

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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