Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia, que é super útil pra derivar funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como derivar funções básicas e como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, estamos vendo que a função está composta de duas partes: a função logaritmo natural
e a função raiz quadrada, que é a mesma coisa que elevar a algo à potência de
.
Passo 3
Agora, para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas pegando a derivada da função de fora e multiplicando pela derivada da função de dentro.
Passo 4
Vamos identificar as duas partes:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Passo 5
Primeiro, derivamos a função externa em relaç��o a
:
Passo 6
Em seguida, derivamos a função interna em relação a
:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
de volta:
Passo 8
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A derivada da função
é:
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