Calcule a derivada das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a regra da derivada. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e como aplicar a regra de derivação para expressões envolvendo somas e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Isso significa que estamos lidando com a média de e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da derivada para somas e constantes. A regra diz que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando a derivada da função. Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar cada termo separadamente. Sabemos que:
E para , usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o :

Resposta

A derivada da função é:

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