Calcule a derivada das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Isso significa que precisamos encontrar
. Vamos usar o diferencial implícito, que é útil quando y está misturado com x na equação. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos um termo com y, precisamos multiplicar pela derivada de y em relação a x, ou seja,
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo:
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
é
. Então, temos:
Explicando: dentro da função seno, temos
. Derivando u, usamos a regra do produto para
, resultando em
.
Passo 4
Agora, derivamos o segundo termo:
. Aqui usamos a regra do produto novamente:
Ou seja, derivamos
que dá
, multiplicamos por y, e depois adicionamos
vezes a derivada de y.
Passo 5
Derivando o lado direito da equação:
.
A derivada de
é 3 e a derivada de 1 é 0.
Passo 6
Agora, juntamos todas as derivadas na equação:
Passo 7
Nosso objetivo é isolar
. Vamos expandir e reorganizar os termos:
Passo 8
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 9
Fatorando
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pelo coeficiente de
:
Resposta
A derivada da função é: