Calcule a derivada das funções:
sen(x y^2) - x^2 y = 3 x + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função sen(x y^2) - x^2 y = 3 x + 1. Isso significa que precisamos encontrar . Vamos usar o diferencial implícito, que é útil quando y está misturado com x na equação. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos um termo com y, precisamos multiplicar pela derivada de y em relação a x, ou seja, .

Passo 3

Derivando o primeiro termo: . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é . Então, temos:
Explicando: dentro da função seno, temos . Derivando u, usamos a regra do produto para x y^2, resultando em .

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo: . Aqui usamos a regra do produto novamente:
Ou seja, derivamos x^2 que dá , multiplicamos por y, e depois adicionamos x^2 vezes a derivada de y.

Passo 5

Derivando o lado direito da equação: .
A derivada de é 3 e a derivada de 1 é 0.

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas na equação:

Passo 7

Nosso objetivo é isolar . Vamos expandir e reorganizar os termos:

Passo 8

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 9

Fatorando :

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pelo coeficiente de :

Resposta

A derivada da função é:

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