Seja a função . Verifique se a curva , com , é uma curva de nível de . Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva , com , é uma curva de nível da função . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma curva de nível e depois ver se todos os pontos de satisfazem a condição para serem uma curva de nível de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é um número constante. Então, se mostrarmos que é constante para todos os pontos da nossa curva , teremos provado que ela é uma curva de nível.
Passo 3
Agora, vamos pegar a expressão da nossa curva e substituir nas variáveis e da função . Temos:
Substituindo esses valores na função :
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculemos os quadrados dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, somando os termos dentro da raiz:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Portanto:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 4.
Passo 6
Voltando à função , agora temos:
Isso significa que, para qualquer valor de entre e , .
Resposta
Assim, como é igual a 0 para todos os pontos da curva , isso confirma que é uma curva de nível da função .