Seja a função
. Verifique se a curva
, com
, é uma curva de nível de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva
, com
, é uma curva de nível da função
. Basicamente, vamos precisar entender o que é uma curva de nível e depois ver se todos os pontos de
satisfazem a condição para serem uma curva de nível de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é um número constante. Então, se mostrarmos que
é constante para todos os pontos da nossa curva
, teremos provado que ela é uma curva de nível.
Passo 3
Agora, vamos pegar a expressão da nossa curva
e substituir nas variáveis
e
da função
. Temos:
Substituindo esses valores na função
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculemos os quadrados dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, somando os termos dentro da raiz:
Sabemos que
(essa é uma identidade trigonométrica básica). Portanto:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 4.
Passo 6
Voltando à função
, agora temos:
Isso significa que, para qualquer valor de
entre
e
,
.
Resposta
Assim, como
é igual a 0 para todos os pontos da curva
, isso confirma que
é uma curva de nível da função
.