Seja a função f(x, y) = 2 - raiz(x^2 + 3y^2). Verifique se a curva vec(gamma)(t) = (2 cos(t), (2 / raiz(3)) sen(t)), com 0 <= t <= 2 pi, é uma curva de nível de f. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva , com , é uma curva de nível da função . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma curva de nível e depois ver se todos os pontos de satisfazem a condição para serem uma curva de nível de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é um número constante. Então, se mostrarmos que é constante para todos os pontos da nossa curva , teremos provado que ela é uma curva de nível.

Passo 3

Agora, vamos pegar a expressão da nossa curva e substituir nas variáveis e da função . Temos:
Substituindo esses valores na função :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculemos os quadrados dentro da raiz:
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Agora, somando os termos dentro da raiz:
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Portanto:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 4.

Passo 6

Voltando à função , agora temos:
Isso significa que, para qualquer valor de entre e , .

Resposta

Assim, como é igual a 0 para todos os pontos da curva , isso confirma que é uma curva de nível da função .

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