Calcule a derivada das funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função dada pela equação . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é útil quando a relação entre e não está expressa diretamente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções implícitas e, por fim, isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é função de , então sempre que derivarmos termo com , teremos que aplicar a regra da cadeia, multiplicando pela .
A equação original é:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra do produto:
  2. Derivada de :
  3. Derivada de :
  4. Derivada de 3:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na equação:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm e os termos constantes:
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Dada a função . Calcule a derivada da função utilizando a definição.
Transformada de Laplace da função transladada: Se a função é atrasada por unidades de tempo, então determine . Resp:
Calcule a derivada das funções:
A seguinte equação representa a taxa de variação temporal da concentração de um substrato que é convertido em produtos segundo uma reação de ordem em um reator enzimático contínuo com agitação:

Inicialmente o reator está operando em estado estacionário, isto é, . No instante ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação, passando o reator a operar nesta nova condição. Utilizando variáveis desvio, mostre que a resposta temporal do sistema pós-perturbação é dada por: