A seguinte equação representa a taxa de variação temporal da concentração de um substrato que é convertido em produtos segundo uma reação de ordem em um reator enzimático contínuo com agitação:
Inicialmente o reator está operando em estado estacionário, isto é, . No instante ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação, passando o reator a operar nesta nova condição. Utilizando variáveis desvio, mostre que a resposta temporal do sistema pós-perturbação é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a concentração de um substrato muda ao longo do tempo em um reator enzimático contínuo com agitação. O conteúdo principal aqui envolve cinética química de primeira ordem e análise de sistemas dinâmicos usando variáveis desvio. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e resolver equações diferenciais de primeira ordem em condições de estado estacionário e após uma perturbação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, é o tempo de residência no reator, é a constante de taxa da reação de primeira ordem, é a concentração de substrato na corrente de alimentação, e representa a taxa de variação temporal da concentração .
Passo 3
Inicialmente, o reator está em estado estacionário, o que significa que a concentração não está mudando com o tempo. Matemáticamente, isso significa que . Vamos substituir isso na equação:
Passo 4
Agora, resolvemos para no estado estacionário:
Então, a concentração no estado estacionário é .
Passo 5
No instante , ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação. Isso muda a condição de operação do reator. Queremos encontrar como a concentração responde a essa mudança ao longo do tempo.
Passo 6
Para analisar a resposta do sistema após a perturbação, usamos as variáveis desvio. Definimos:
Como inicialmente o reator está em estado estacionário, a variação na alimentação é .
Passo 7
Substituímos na equação original:
Como é constante, . Então:
Passo 8
Sabemos que no estado estacionário:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde e .
A solução geral dessa equação é:
Passo 10
Considerando que no instante , a variação ainda não afetou a concentração, então . Substituindo na solução: