A seguinte equação representa a taxa de variação temporal da concentração de um substrato que é convertido em produtos segundo uma reação de ordem em um reator enzimático contínuo com agitação:

Inicialmente o reator está operando em estado estacionário, isto é, . No instante ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação, passando o reator a operar nesta nova condição. Utilizando variáveis desvio, mostre que a resposta temporal do sistema pós-perturbação é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a concentração de um substrato muda ao longo do tempo em um reator enzimático contínuo com agitação. O conteúdo principal aqui envolve cinética química de primeira ordem e análise de sistemas dinâmicos usando variáveis desvio. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e resolver equações diferenciais de primeira ordem em condições de estado estacionário e após uma perturbação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, é o tempo de residência no reator, é a constante de taxa da reação de primeira ordem, é a concentração de substrato na corrente de alimentação, e representa a taxa de variação temporal da concentração .

Passo 3

Inicialmente, o reator está em estado estacionário, o que significa que a concentração não está mudando com o tempo. Matemáticamente, isso significa que . Vamos substituir isso na equação:

Passo 4

Agora, resolvemos para no estado estacionário:
Então, a concentração no estado estacionário é .

Passo 5

No instante , ocorre uma variação degrau na concentração de substrato da corrente de alimentação. Isso muda a condição de operação do reator. Queremos encontrar como a concentração responde a essa mudança ao longo do tempo.

Passo 6

Para analisar a resposta do sistema após a perturbação, usamos as variáveis desvio. Definimos:
Como inicialmente o reator está em estado estacionário, a variação na alimentação é .

Passo 7

Substituímos na equação original:
Como é constante, . Então:

Passo 8

Sabemos que no estado estacionário:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde e .
A solução geral dessa equação é:

Passo 10

Considerando que no instante , a variação ainda não afetou a concentração, então . Substituindo na solução:
Substituindo e :

Passo 11

Fatorando no denominador:

Resposta

A resposta temporal do sistema pós-perturbação é:

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