Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
que depende de
e queremos calcular a sua derivada, ou seja,
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial aplicado a funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicar isso a cada componente da função vetorial.
Passo 2
A função vetorial dada é:
Essa função tem três componentes:
,
e
. Vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar a função
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Se
, então
, e a derivada é:
Alternativamente, podemos escrever isso usando a identidade trigonométrica:
Passo 5
Por último, vamos derivar
. Aqui, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Seja
e
:
Aplicando a regra do produto:
Resposta
A derivada da função vetorial
é: