Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo.
r(t) = (ln(t), cos^2(t), (t^3 - t) e^t)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que depende de e queremos calcular a sua derivada, ou seja, . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial aplicado a funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicar isso a cada componente da função vetorial.

Passo 2

A função vetorial dada é:
Essa função tem três componentes: , e . Vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar a função . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia. Se , então , e a derivada é:
Alternativamente, podemos escrever isso usando a identidade trigonométrica:

Passo 5

Por último, vamos derivar . Aqui, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Seja e :
Aplicando a regra do produto:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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