Calcule as derivadas parciais,
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente do tópico de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Vamos identificar o que depende de
na expressão de
:
Então, podemos reescrever
como:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular cada parte da regra da cadeia:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
E lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Calculamos cada parte:
Passo 7
Substituímos na regra da cadeia:
Substituindo
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e