Calcule as derivadas parciais, partial zpartial x e partial zpartial y : z=(x^2+5 x-2 y)^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e , onde . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente do tópico de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos identificar o que depende de na expressão de :
Então, podemos reescrever como:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada parte da regra da cadeia:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Depois, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
E lembrando que , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Calculamos cada parte:
(igual que antes)
(já que )

Passo 7

Substituímos na regra da cadeia:
Substituindo :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 8(x^2 + 5x - 2y)^7 cdot (2x + 5)
e
partial zpartial y = -16(x^2 + 5x - 2y)^7

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