Calcule a derivada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
. Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções que são razões de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e entender um pouco sobre derivadas de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, geralmente
. No nosso caso, queremos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A função que temos é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Para derivar uma função que é a divisão de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A regra diz que se você tem uma função
, a derivada dela é:
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções.
Passo 5
Primeiro, a derivada de
em relação a
é:
Isso porque a derivada de
em relação a
é ela mesma.
Passo 6
Segundo, a derivada de
em relação a
é:
Isso vem da regra do poder, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1.
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra do Quociente usando
,
,
e
:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
E o denominador fica:
Então, temos:
Passo 9
Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Resposta
A derivada de
é:
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