Calcule a derivada: g(x) = e^u / u^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções que são razões de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e entender um pouco sobre derivadas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, geralmente . No nosso caso, queremos encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

A função que temos é uma fração onde o numerador é e o denominador é . Para derivar uma função que é a divisão de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A regra diz que se você tem uma função , a derivada dela é:

Passo 4

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções.

Passo 5

Primeiro, a derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de em relação a é ela mesma.

Passo 6

Segundo, a derivada de em relação a é:
Isso vem da regra do poder, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1.

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra do Quociente usando , , e :

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
E o denominador fica:
Então, temos:

Passo 9

Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Resposta

A derivada de é:

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