Calcule a derivada: h(z) = (z^5 - 2z^3)(7z^2 + z - 8)

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a derivada da função . Vamos usar o conceito de derivada e, mais especificamente, a Regra do Produto, que é útil quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Então, pra resolver isso, vamos precisar identificar as duas funções envolvidas e aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas:
A Regra do Produto diz que a derivada de é:
Ou seja, a derivada de é a derivada de vezes mais vezes a derivada de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e separadamente.
Para :
  • A derivada de é .
  • Então, .
Para :
  • Derivando cada termo:
    • A derivada de é .
    • A derivada de é .
    • A derivada de é (pois constantes derivam para zero).
  • Então, .

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos agora multiplicar cada termo para simplificar a expressão.

Passo 5

Vamos multiplicar por :
Somando todos esses termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar por :
Somando esses termos:

Passo 7

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:

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