Calcule a derivada implícita d/y d/x em cada item abaixo: x^3 + y^3 = 6 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa derivada implícita! O enunciado da questão pede para calcular a derivada da equação . Vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas, que é uma técnica para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando elas estão misturadas em uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em derivadas implícitas, tratamos y como uma função de x. Isso significa que, quando derivamos termos com y, precisamos multiplicar pela derivada de y em relação a x, ou seja, . Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação :
  • A derivada de x^3 em relação a x é .
  • A derivada de em relação a x usa a regra da cadeia: .
  • A derivada de usa a regra do produto: .
Então, após a derivação, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos que contêm em um lado da equação e os termos sem no outro:

Passo 5

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 6

Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 7

Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A derivada implícita é:

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