Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa derivada implícita! O enunciado da questão pede para calcular a derivada
da equação
. Vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas, que é uma técnica para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando elas estão misturadas em uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em derivadas implícitas, tratamos
como uma função de
. Isso significa que, quando derivamos termos com
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: . - A derivada de
usa a regra do produto: .
Então, após a derivação, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos que contêm
em um lado da equação e os termos sem
no outro:
Passo 5
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 7
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A derivada implícita é:
Exercícios relacionados
Calcule
das respectivas funções no ponto
dado.
d) e
d)
Calcule o limite a seguir:
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira: