Calcule o limite a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um assunto importante no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com raízes cúbicas e a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. Substituindo:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos de outro método para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação , uma das técnicas que podemos usar é a regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos:
então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos identificar e na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas de e .

Passo 5

Primeiro, a derivada de é simples:
Agora, para , reescrevemos a raiz cúbica como expoente fracionário:
A derivada de é:

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hospital, substituímos no limite:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão resultante:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule das respectivas funções no ponto dado.
d) e
Calcule a derivada implícita em cada item abaixo: