Calcule o limite a seguir: lim x -1 raiz[3]x+2-1x+1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite lim x -1 raiz[3]x+2-1x+1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um assunto importante no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com raízes cúbicas e a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos raiz[3]-1+2-1-1+1 = raiz[3]1-10 = 1-10 = 00 diretamente na expressão. Substituindo:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos de outro método para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, , uma das técnicas que podemos usar é a regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos:
limx to a f'(x)g'(x)
então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos identificar f(x) = raiz[3]x+2 - 1 g(x) = x + 1 e na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas de e .

Passo 5

Primeiro, a derivada de g'(x) = 1 é simples:
f(x) = (x + 2)^1/3 - 1
Agora, para f'(x) = 13(x + 2)^-2/3 , reescrevemos a raiz cúbica como expoente fracionário:
A derivada de é:

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hospital, substituímos no limite:
lim x -1 f'(x)g'(x) = lim x -1 13(x + 2)^-2/31

Passo 7

Agora, substituímos 13((-1) + 2)^-2/3 = 13(1)^-2/3 = 13 times 1 = 13 na expressão resultante:

Resposta

O limite é igual a .

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