Calcule o limite a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um assunto importante no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com raízes cúbicas e a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão. Substituindo:
Essa forma
é uma indeterminação, o que significa que precisamos de outro método para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação
, uma das técnicas que podemos usar é a regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos:
então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa expressão:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
.
Passo 5
Primeiro, a derivada de
é simples:
Agora, para
, reescrevemos a raiz cúbica como expoente fracionário:
A derivada de
é:
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hospital, substituímos no limite:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão resultante:
Resposta
O limite é igual a
.
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Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule
das respectivas funções no ponto
dado.
d) e
d)
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo: