Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada implícita de
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, mais especificamente à derivação de funções que estão definidas de forma implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação de
com relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo da equação
em relação a
, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. Derivando
, obtemos 1. Derivando
, lembrando que
é uma função de
, obtemos
.
Passo 6
Substituindo isso na derivada da função composta, temos:
Passo 7
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação original:
Passo 8
Vamos distribuir o
:
Passo 9
Agora, vamos reunir os termos que contêm
em um lado da equação:
Passo 10
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 11
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada implícita
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Calcule
das respectivas funções no ponto
dado.
d) e
d)
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira: