Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada implícita de . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, mais especificamente à derivação de funções que estão definidas de forma implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação de com relação a , ou seja, .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo da equação em relação a , obtemos:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .

Passo 5

Vamos derivar em relação a . Derivando , obtemos 1. Derivando , lembrando que é uma função de , obtemos .

Passo 6

Substituindo isso na derivada da função composta, temos:

Passo 7

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação original:

Passo 8

Vamos distribuir o :

Passo 9

Agora, vamos reunir os termos que contêm em um lado da equação:

Passo 10

Fatorando no lado esquerdo:

Passo 11

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada implícita é:

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Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:
Calcule das respectivas funções no ponto dado.
d) e
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira: