Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo que envolve encontrar os extremos (ou seja, os pontos máximos e mínimos) da função . Para resolver isso, vamos usar o teste da derivada primeira, que é uma técnica para identificar onde a função atinge seus pontos altos e baixos. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a . Então, vamos derivar cada termo de :
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde os extremos podem ocorrer), vamos resolver a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Vamos fatorar essa equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que encontramos os valores de onde a derivada é zero, vamos usar o teste da derivada primeira para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou nenhum dos dois.
Para fazer isso, vamos olhar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Para :
  • Escolha um valor à esquerda de 1, digamos :
  • Escolha um valor à direita de 1, digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de máximo local.
Para :
  • Escolha um valor à esquerda de 3, digamos :
  • Escolha um valor à direita de 3, digamos :
Aqui, a derivada muda de negativa para positiva, então é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os extremos da função usando o teste da derivada primeira são:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em

Exercícios relacionados

Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:
Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira: