Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo que envolve encontrar os extremos (ou seja, os pontos máximos e mínimos) da função
. Para resolver isso, vamos usar o teste da derivada primeira, que é uma técnica para identificar onde a função atinge seus pontos altos e baixos. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a
. Então, vamos derivar cada termo de
:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde os extremos podem ocorrer), vamos resolver a equação
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Vamos fatorar essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que encontramos os valores de
onde a derivada é zero, vamos usar o teste da derivada primeira para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou nenhum dos dois.
Para fazer isso, vamos olhar o sinal da derivada
antes e depois de cada ponto crítico.
Para
:
- Escolha um valor à esquerda de 1, digamos
: - Escolha um valor à direita de 1, digamos
:
Como a derivada muda de positiva para negativa,
é um ponto de máximo local.
Para
:
- Escolha um valor à esquerda de 3, digamos
: - Escolha um valor à direita de 3, digamos
:
Aqui, a derivada muda de negativa para positiva, então
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os extremos da função
usando o teste da derivada primeira são:
- Máximo local em
- Mínimo local em
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Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
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em cada item abaixo:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
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