Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada implícita
da equação
. Isso envolve derivação implícita, que é quando
está misturado com
na equação e não está isolado. Para resolver, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos termos que envolvem
, precisamos multiplicar pela
devido à regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 3
Agora, derivamos o lado direito
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
:
Passo 5
Agora, vamos reunir todos os termos que envolvem
de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela quantidade que está multiplicando ele:
Resposta
A derivada implícita é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
escreva as sequências utilizadas na atividade de apresentação (no caso das sequências do eixo y mencione quais valores de
e
foram fixados). Caso prefira, poste a foto da construção realizada no GeoGebra.
você consegue enxergar uma conexão entre a atividade proposta acima (apresentação) e o estudo de juros (simples e compostos)? Caso a resposta seja positiva dê ao menos um exemplo! (Dica: veja apostila