Calcule a derivada implícita d/y d/x em cada item abaixo: cos(x+y) = y sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada implícita da equação . Isso envolve derivação implícita, que é quando está misturado com na equação e não está isolado. Para resolver, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos que envolvem , precisamos multiplicar pela devido à regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de .

Passo 3

Agora, derivamos o lado direito . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir o :

Passo 5

Agora, vamos reunir todos os termos que envolvem de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela quantidade que está multiplicando ele:

Resposta

A derivada implícita é:

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