Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
usando o teste da derivada primeira. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas e como elas ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos ou baixos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função dentro de outra função.
A regra da cadeia diz que se temos
, então a derivada
é:
No nosso caso,
e
. Vamos aplicar a regra:
Então, a derivada da função é
.
Passo 3
Agora que temos a derivada, o próximo passo é encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é polinomial, ela existe para todo
, então vamos focar em resolver
:
Essa equação acima será igual a zero quando qualquer um dos fatores for zero:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Esse teste verifica como a derivada se comporta ao passar pelos pontos críticos.
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando os pontos críticos e verificar o sinal de
em cada intervalo.
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
Agora, analisando o sinal da derivada:
- Em
: A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local. - Em
: A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
: A derivada muda de negativa para positiva, indicando outro mínimo local.
Resposta
A função
possui:
- Mínimos locais em
e , onde . - Máximo local em
, onde .
Exercícios relacionados
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo:
Calcule a derivada implícita
em cada item abaixo: