Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função usando o teste da derivada primeira. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas e como elas ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos ou baixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função dentro de outra função.
A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos aplicar a regra:
Então, a derivada da função é .

Passo 3

Agora que temos a derivada, o próximo passo é encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é polinomial, ela existe para todo , então vamos focar em resolver :
Essa equação acima será igual a zero quando qualquer um dos fatores for zero:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Esse teste verifica como a derivada se comporta ao passar pelos pontos críticos.
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando os pontos críticos e verificar o sinal de em cada intervalo.
  1. Intervalo :
    • Escolha :
  2. Intervalo :
    • Escolha :
  3. Intervalo :
    • Escolha :
  4. Intervalo :
    • Escolha :
Agora, analisando o sinal da derivada:
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em : A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva, indicando outro mínimo local.

Resposta

A função possui:
  • Mínimos locais em e , onde .
  • Máximo local em , onde .

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Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:
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