Calcule a derivada implícita d/y d/x em cada item abaixo: x cos(y) + y cos(x) = 1

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular a derivada implícita da equação . Isso faz parte do conteúdo de derivação implícita em cálculo diferencial, onde precisamos encontrar a taxa de variação de y em relação a x quando y não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então usaremos a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem y.

Passo 3

Derivando o primeiro termo :
Usamos a regra do produto: se temos , a derivada é .
Aqui, e .
Então, .

Passo 4

Derivando o segundo termo :
Novamente, usamos a regra do produto onde e .
Então, .

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, .

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes derivadas:
.

Passo 7

Agrupamos os termos que contêm :
.

Passo 8

Isolamos dividindo ambos os lados da equação por :
.

Resposta

A derivada implícita é:

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