Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os extremos da função usando o teste da derivada primeira. A função que temos é . Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função, encontrar os pontos críticos e analisar onde a função atinge máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, se está subindo ou descendo. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada está definida para todo x, então vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 3:
Então:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da derivada primeira para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou nem nada disso. O teste da derivada primeira analisa o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Vamos escolher alguns valores ao redor de e para ver como a derivada se comporta.
Para :
  • Se pegarmos um valor menor que -1, digamos :
  • Se pegarmos um valor maior que -1, digamos :
A derivada passa de positiva para negativa em , o que indica que a função tem um máximo nesse ponto.
Para :
  • Se pegarmos um valor menor que 1, digamos :
  • Se pegarmos um valor maior que 1, digamos :
A derivada passa de negativa para positiva em , o que indica que a função tem um mínimo nesse ponto.

Resposta

A função tem um máximo local em e um mínimo local em .

Exercícios relacionados

Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Calcule a derivada implícita em cada item abaixo:
Encontre os extremos da função em cada item usando o teste da derivada primeira:
Calcule a derivada implícita em cada item abaixo: