Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . O conteúdo envolvido aqui é derivação de funções que são produto de duas funções diferentes. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Produto e entender como derivar funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:

Passo 3

Agora, precisamos derivar cada uma dessas partes separadamente. Começando com :
A derivada de uma função exponencial é dada por:
Então, para :

Passo 4

Em seguida, vamos derivar :
A derivada do logaritmo de base é:
Portanto, para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo , , e que calculamos:

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão. Note que é comum nos dois termos:

Passo 7

Se quisermos deixar em termos de logaritmo natural, lembramos que:
Substituindo na expressão:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Encontre a primeira e a segunda derivada das funções:
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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