Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. O conteúdo envolvido aqui é derivação de funções que são produto de duas funções diferentes. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Produto e entender como derivar funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
Passo 3
Agora, precisamos derivar cada uma dessas partes separadamente. Começando com
:
A derivada de uma função exponencial é dada por:
A derivada de uma função exponencial
Então, para
:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
:
A derivada do logaritmo de base é:
A derivada do logaritmo de base
Portanto, para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é:
Substituindo
,
,
e
que calculamos:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco a expressão. Note que
é comum nos dois termos:
Passo 7
Se quisermos deixar em termos de logaritmo natural, lembramos que:
Substituindo na expressão:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a primeira e a segunda derivada das funções:
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(22)
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Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
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