Encontre a primeira e a segunda derivada das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada das funções
,
,
e
. Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, como a derivada de potências, exponenciais e funções racionais.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Para encontrar a primeira derivada, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Agora, para a segunda derivada, derivamos novamente
:
Passo 4
Seguimos para a função
. Primeiro, reescrevemos as raízes em forma de potências:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Ou, de forma simplificada:
Passo 5
Vamos para
. A derivada da função exponencial
é ela mesma, e a derivada de
é
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Por último, a função
. Para derivar essa função, podemos simplificar a expressão antes de derivar. Vamos fatorar o numerador.
Primeiro, dividimos
por
usando divisão polinomial ou fatoração. Supondo que
não seja raiz, a função pode ser simplificada ou derivada diretamente usando a regra do quociente.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando isso pode ficar complexo, então uma alternativa é simplificar o polinômio antes de derivar, se possível.
Resposta
As primeiras e segundas derivadas das funções são:
Note que para
, é recomendado simplificar a expressão antes de derivar para facilitar os cálculos.
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