Encontre a primeira e a segunda derivada das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada das funções , , e . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, como a derivada de potências, exponenciais e funções racionais.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para encontrar a primeira derivada, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Agora, para a segunda derivada, derivamos novamente :

Passo 4

Seguimos para a função . Primeiro, reescrevemos as raízes em forma de potências:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Ou, de forma simplificada:

Passo 5

Vamos para . A derivada da função exponencial é ela mesma, e a derivada de é .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Por último, a função . Para derivar essa função, podemos simplificar a expressão antes de derivar. Vamos fatorar o numerador.
Primeiro, dividimos por usando divisão polinomial ou fatoração. Supondo que não seja raiz, a função pode ser simplificada ou derivada diretamente usando a regra do quociente.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando isso pode ficar complexo, então uma alternativa é simplificar o polinômio antes de derivar, se possível.

Resposta

As primeiras e segundas derivadas das funções são:
ãóçã
Note que para , é recomendado simplificar a expressão antes de derivar para facilitar os cálculos.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(23)
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(19)
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(10)
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(22)