Calcule a derivada de ln(raiz(x^4 / sen(4 x))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de ln(raiz(x^4 / sen(4 x))). A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e propriedades dos logaritmos. Precisaremos lembrar como derivar funções logarítmicas, potências e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Sabemos que , então:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos separar o logaritmo da fração usando :

Passo 5

Simplificando usando novamente :

Passo 6

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de é 1/x, e para , usamos a regra da cadeia.
Para a segunda parte:

Passo 7

Juntando as derivadas:

Resposta

A derivada de ln(raiz(x^4 / sen(4 x))) é .

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