Calcule a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de
. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e propriedades dos logaritmos. Precisaremos lembrar como derivar funções logarítmicas, potências e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Sabemos que
, então:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos separar o logaritmo da fração usando
:
Passo 5
Simplificando
usando novamente
:
Passo 6
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de
é
, e para
, usamos a regra da cadeia.
Para a segunda parte:
Passo 7
Juntando as derivadas:
Resposta
A derivada de
é
.