Sabendo que 3 f(x)+4 f(5-x)=7, calcule integral0^5 f(x) d x.
Dica: calcule integral0^5[3 f(x)+4 f(5-x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e precisa calcular a integral . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das integrais. Vamos precisar entender como integrar cada termo e aproveitar as simetrias da função.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação dada no intervalo de 0 a 5. Isso significa que vamos aplicar a integral em cada termo:
integral0^5 [3 f(x) + 4 f(5 - x)] , dx = integral0^5 7 , dx

Passo 3

Vamos simplificar a integral do lado direito. Integrar uma constante é fácil:
integral0^5 7 , dx = 7 times (5 - 0) = 35

Passo 4

Agora, vamos lidar com o lado esquerdo. Podemos distribuir a integral:
3 integral0^5 f(x) , dx + 4 integral0^5 f(5 - x) , dx = 35

Passo 5

Vamos analisar a segunda integral no lado esquerdo: integral5^0 f(u) , (-du) = integral0^5 f(u) , du = integral0^5 f(x) , dx . Fazendo uma substituição , temos . Quando , e quando , . Assim, a integral fica:
Então, .

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
3 integral0^5 f(x) , dx + 4 integral0^5 f(x) , dx = 35
(3 + 4) integral0^5 f(x) , dx = 35
7 integral0^5 f(x) , dx = 35

Passo 7

Para encontrar integral0^5 f(x) , dx = 357 = 5 , dividimos ambos os lados por 7:

Resposta

A integral é igual a 5.

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