Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial da função . Esse tipo de derivada envolve derivadas de ordem mista, ou seja, derivadas em relação a várias variáveis diferentes. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e saber escolher uma ordem eficiente para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a , depois a , depois as duas vezes em relação a . A ordem em que fazemos as derivadas mistas pode facilitar os cálculos, então vamos escolher uma ordem que simplifique o processo.

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . A função é composta por duas partes: e .
Derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a , usamos a regra da cadeia:
Então, a derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . A expressão derivada em relação a é:
A segunda parte não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Portanto:

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a . A expressão derivada em relação a é:

Passo 6

Finalmente, vamos derivar novamente em relação a :

Resposta

A derivada parcial é igual a .

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Use a definição da derivada parcial como limite para calcular
A temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço é , onde e são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e .
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(g)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(e)