Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial
da função
. Esse tipo de derivada envolve derivadas de ordem mista, ou seja, derivadas em relação a várias variáveis diferentes. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e saber escolher uma ordem eficiente para derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso significa que vamos derivar a função
primeiro em relação a
, depois a
, depois as duas vezes em relação a
. A ordem em que fazemos as derivadas mistas pode facilitar os cálculos, então vamos escolher uma ordem que simplifique o processo.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. A função
é composta por duas partes:
e
.
Derivando
em relação a
, temos:
Derivando
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Então, a derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A expressão
derivada em relação a
é:
A segunda parte
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Portanto:
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
. A expressão
derivada em relação a
é:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar
novamente em relação a
:
Resposta
A derivada parcial
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a definição da derivada parcial como limite para calcular
A temperatura em qualquer ponto
de uma placa de aço é
, onde
e
são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos
e
.
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(g)
(g)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(e)
(e)