Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver a equação quartica onde os coeficientes e são iguais a zero. Isso significa que nossa equação fica mais simples e tem a forma . Vamos precisar usar conceitos de equações polinomiais e substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Como , nossa equação quartica fica assim:

Passo 3

Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Com isso, nossa equação transforma-se em uma equação quadrática:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática em , vamos usar a fórmula de Bhaskara. A solução para é dada por:
Aqui, o discriminante vai nos ajudar a determinar se as soluções são reais ou complexas.

Passo 5

Vamos analisar o discriminante :
  • Se , a equação quadrática tem duas soluções reais distintas para .
  • Se , as soluções são reais e iguais.
  • Se , as soluções são complexas.

Passo 6

Depois de encontrar os valores de , lembramos que . Então, para cada solução de :
  • Se for positivo, as soluções para são reais e dadas por .
  • Se for negativo, as soluções para serão complexas, já que não existe raiz quadrada real de número negativo.

Resposta

As soluções da equação quartica com são:
As soluções são reais quando o discriminante é maior ou igual a zero e for não negativo. Caso contrário, as soluções são complexas.

Exercícios relacionados

Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(g)
Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(d)
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(d)