Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver a equação quartica onde os coeficientes e são iguais a zero. Isso significa que nossa equação fica mais simples e tem a forma . Vamos precisar usar conceitos de equações polinomiais e substituição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Como , nossa equação quartica fica assim:
Passo 3
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Com isso, nossa equação transforma-se em uma equação quadrática:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática em , vamos usar a fórmula de Bhaskara. A solução para é dada por:
Aqui, o discriminante vai nos ajudar a determinar se as soluções são reais ou complexas.
Passo 5
Vamos analisar o discriminante :
Se , a equação quadrática tem duas soluções reais distintas para .
Se , as soluções são reais e iguais.
Se , as soluções são complexas.
Passo 6
Depois de encontrar os valores de , lembramos que . Então, para cada solução de :
Se for positivo, as soluções para são reais e dadas por .
Se for negativo, as soluções para serão complexas, já que não existe raiz quadrada real de número negativo.
Resposta
As soluções da equação quartica com são:
As soluções são reais quando o discriminante é maior ou igual a zero e for não negativo. Caso contrário, as soluções são complexas.