A temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço é , onde e são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma função que representa a temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço, dada por . Nosso objetivo é encontrar as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda quando alteramos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo , ou seja, mudando somente a coordenada enquanto mantemos constante.
A função dada é:
Para encontrar a derivada parcial de em relação a , tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Então, a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Similarmente, a derivada parcial nos indica como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo , mantendo constante.
Usando a mesma função:
Derivando em relação a , tratando como constante:
Portanto, a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .