A temperatura em qualquer ponto x, y de uma placa de aço é T = 500 - 0.6 x^2 - 1.5 y^2, onde x e y são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos x e y.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma função que representa a temperatura em qualquer ponto (x, y) de uma placa de aço, dada por . Nosso objetivo é encontrar as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos x e y no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função T muda quando alteramos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de T em relação a x. A derivada parcial nos mostra como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo x, ou seja, mudando somente a coordenada x enquanto mantemos y constante.
A função dada é:
Para encontrar a derivada parcial de T em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x:
Então, a derivada parcial de T em relação a x é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de T em relação a y. Similarmente, a derivada parcial nos indica como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo y, mantendo x constante.
Usando a mesma função:
Derivando em relação a y, tratando x como constante:
Portanto, a derivada parcial de T em relação a y é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .
Primeiro, para x = 2:
Segundo, para :

Resposta

As taxas de variação da temperatura no ponto são:
  • Na direção do eixo x: °C por metro
  • Na direção do eixo y: °C por metro

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