A temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço é , onde e são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma função que representa a temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço, dada por . Nosso objetivo é encontrar as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda quando alteramos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo , ou seja, mudando somente a coordenada enquanto mantemos constante.
A função dada é:
Para encontrar a derivada parcial de em relação a , tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Similarmente, a derivada parcial nos indica como a temperatura muda quando movemos na direção do eixo , mantendo constante.
Usando a mesma função:
Derivando em relação a , tratando como constante:
Portanto, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Resposta

As taxas de variação da temperatura no ponto são:
  • Na direção do eixo : °C por metro
  • Na direção do eixo : °C por metro

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A Lei dos Gases Ideais afirma que , onde é a pressão, é o volume, é uma constante de proporcionalidade, e é a temperatura absoluta. Mostre que
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Use a definição da derivada parcial como limite para calcular
Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)