Use a definição da derivada parcial como limite para calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa usar a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Então, vamos precisar entender como aplicar o limite na definição de derivada parcial para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a é o limite da taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Matemáticamente, isso é dado por:
E de forma semelhante para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Vamos começar calculando .
Primeiro, identificamos a função .
Aplicando a definição:
Substituímos por :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
Os cancelam:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular .
Usando a definição:
Substituímos por :

Passo 7

Expandindo :
Portanto:

Passo 8

Simplificamos dividindo cada termo por :
Então, o limite fica:

Resposta

Assim, as derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

A temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço é , onde e são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e .
A Lei dos Gases Ideais afirma que , onde é a pressão, é o volume, é uma constante de proporcionalidade, e é a temperatura absoluta. Mostre que
Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(g)