Use a definição da derivada parcial como limite para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa usar a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Então, vamos precisar entender como aplicar o limite na definição de derivada parcial para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada parcial. A derivada parcial de uma função
em relação a
é o limite da taxa de variação de
quando
varia, mantendo
constante. Matemáticamente, isso é dado por:
E de forma semelhante para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Vamos começar calculando
.
Primeiro, identificamos a função
.
Aplicando a definição:
Substituímos
por
:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro do limite:
Os
cancelam:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 5
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular
.
Usando a definição:
Substituímos
por
:
Passo 7
Expandindo
:
Portanto:
Passo 8
Simplificamos dividindo cada termo por
:
Então, o limite fica:
Resposta
Assim, as derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
A temperatura em qualquer ponto
de uma placa de aço é
, onde
e
são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos
e
.
A Lei dos Gases Ideais afirma que
, onde
é a pressão,
é o volume,
é uma constante de proporcionalidade, e
é a temperatura absoluta. Mostre que
Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(g)
(g)