Use a definição da derivada parcial como limite para calcular
partialpartial x x y^2 e partialpartial y x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa usar a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Então, vamos precisar entender como aplicar o limite na definição de derivada parcial para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada parcial. A derivada parcial de uma função partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h em relação a partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k é o limite da taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Matemáticamente, isso é dado por:
E de forma semelhante para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Vamos começar calculando partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h .
Primeiro, identificamos a função partial fpartial x = limh to 0 (x + h) y^2 - x y^2h .
Aplicando a definição:
Substituímos por :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
(x + h) y^2 - x y^2h = x y^2 + h y^2 - x y^2h = h y^2h
Os h y^2h = y^2 cancelam:
limh to 0 y^2 = y^2
Então, a expressão do limite fica:

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de partialpartial x x y^2 = y^2 em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k .
Usando a definição:
partial fpartial y = limk to 0 x (y + k)^2 - x y^2k
Substituímos por :

Passo 7

Expandindo (y + k)^2 = y^2 + 2 y k + k^2 :
x (y^2 + 2 y k + k^2) - x y^2k = x y^2 + 2 x y k + x k^2 - x y^2k = 2 x y k + x k^2k
Portanto:

Passo 8

Simplificamos dividindo cada termo por 2 x y kk + x k^2k = 2 x y + x k :
limk to 0 (2 x y + x k) = 2 x y + x cdot 0 = 2 x y
Então, o limite fica:

Resposta

Assim, as derivadas parciais são:
partialpartial x x y^2 = y^2 e partialpartial y x y^2 = 2 x y

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