Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular a derivada parcial da função . Isso envolve tomar derivadas sucessivas em relação às variáveis , , e . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e como aplicar a derivada em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
Precisamos calcular a derivada parcial de quarta ordem , ou seja, derivar primeiro duas vezes em relação a , depois uma vez em e por fim em .

Passo 3

Vamos começar derivando a função em relação a pela primeira vez. Lembrando que quando derivamos em relação a , tratamos , e como constantes.
A derivada do primeiro termo em relação a é:
Agora, a derivada do segundo termo em relação a usa a regra da cadeia:
Portanto, a primeira derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter .
Derivando o primeiro termo em relação a :
Para o segundo termo , usamos a regra do produto e da cadeia:
Primeiro, derivamos em relação a :
Segundo, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Portanto, a segunda derivada em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para obter .
Observando a expressão de :
A única parte que depende de é . Derivando em relação a :
As outras partes não dependem de , então suas derivadas são zero. Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos derivar em relação a para encontrar .
Temos:
Derivando em relação a :

Resposta

A derivada parcial é igual a .

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(d)
R.: e
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.: