Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa calcular a derivada parcial
da função
. Isso envolve tomar derivadas sucessivas em relação às variáveis
,
,
e
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e como aplicar a derivada em funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
Precisamos calcular a derivada parcial de quarta ordem
, ou seja, derivar primeiro duas vezes em relação a
, depois uma vez em
e por fim em
.
Passo 3
Vamos começar derivando a função
em relação a
pela primeira vez. Lembrando que quando derivamos em relação a
, tratamos
,
e
como constantes.
A derivada do primeiro termo
em relação a
é:
Agora, a derivada do segundo termo
em relação a
usa a regra da cadeia:
Portanto, a primeira derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter
.
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
Para o segundo termo
, usamos a regra do produto e da cadeia:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Segundo, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Portanto, a segunda derivada em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
.
Observando a expressão de
:
A única parte que depende de
é
. Derivando em relação a
:
As outras partes não dependem de
, então suas derivadas são zero. Portanto:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Resposta
A derivada parcial
é igual a
.
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Determine um plano tangente à superficie
, com
, que seja paralelo ao plano
.
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d)
R.: e
(d)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
(b)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:
(h)
R.: