Determine um plano tangente à superficie
, com
, que seja paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um plano tangente à superfície definida por
, onde
. Além disso, esse plano tangente tem que ser paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano tangente à superfície
em um ponto
é dada por:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é
. Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano
. Dois planos são paralelos se os coeficientes de
,
e
forem proporcionais. Então, temos que:
Isso significa que:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Primeiro,
. Como
(porque
), podemos dividir os dois lados por
:
Agora, usando
na segunda equação
, temos:
Então, temos que
.
Passo 6
Sabemos que
. Vamos substituir isso na equação da superfície:
Portanto, os pontos são
.
Passo 7
Agora que temos o ponto
, vamos usar a equação do plano tangente:
Substituindo
e as derivadas:
Como
, simplificamos para encontrar a equação do plano.
Passo 8
Simplificando, temos:
Isso fica:
Dividindo tudo por
:
Ou seja:
Resposta
O plano tangente à superfície
, paralelo a
, é dado por:
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Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d)
R.: e
(d)
R.:
Descreva o domínio de fe encontre os valores funcionais indicados:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
(b)
R.: