Determine um plano tangente à superficie , com , que seja paralelo ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um plano tangente à superfície definida por , onde . Além disso, esse plano tangente tem que ser paralelo ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano tangente à superfície em um ponto é dada por:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é . Então, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano . Dois planos são paralelos se os coeficientes de , e forem proporcionais. Então, temos que:
Isso significa que:

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Primeiro, . Como (porque ), podemos dividir os dois lados por :
Agora, usando na segunda equação , temos:
Então, temos que .

Passo 6

Sabemos que . Vamos substituir isso na equação da superfície:
Portanto, os pontos são .

Passo 7

Agora que temos o ponto , vamos usar a equação do plano tangente:
Substituindo e as derivadas:
Como , simplificamos para encontrar a equação do plano.

Passo 8

Simplificando, temos:
Isso fica:
Dividindo tudo por :
Ou seja:

Resposta

O plano tangente à superfície , paralelo a , é dado por:

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Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d)
R.: e
Descreva o domínio de fe encontre os valores funcionais indicados:
a)
b)
c)
d)
Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.: