Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d) g(t) = { e^(-t) se 0 <= t < 5; -1 se t >= 5 }
R.: g(t) = e^(-t) * U(t) - (e^(-t) + 1) * U(t - 5) e L(g(t)) = 1/(s+1) - e^(-5s-5)/(s+1) - e^(-5s)/s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função usando funções degrau e depois calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer como representar funções por partes com funções degrau e entender o básico de transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
A gente vai usar a função degrau para representar essas duas partes de forma contínua.

Passo 3

A função degrau é igual a 0 para e 1 para . Isso nos ajuda a “ligar” ou “desligar” partes da função em determinados momentos.

Passo 4

Vamos escrever em termos de . Para a primeira parte ( ), a função é . A gente pode representar isso como .

Passo 5

Agora, para a segunda parte ( ), a função é constante igual a -1. A gente precisa subtrair essa parte a partir de . Então, representamos isso como .

Passo 6

No entanto, como a função original muda de para -1 em , a gente também precisa ajustar essa transição. Isso significa que temos que subtrair a partir de . Então, fica:

Passo 7

Agora que temos em termos de funções degrau, vamos calcular a transformada de Laplace. Lembra que a transformada de Laplace de é .

Passo 8

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da expressão de :
  1. Para , a transformada é .
  2. Para , a transformada é .
  3. Para , a transformada é .

Passo 9

Então, juntando tudo:

Resposta

A função escrita em termos de funções degrau é:
E a sua transformada de Laplace é:

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