Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(d)
R.:
e
(d)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função
usando funções degrau
e depois calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer como representar funções por partes com funções degrau e entender o básico de transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas maneiras:
- Para
, - Para
,
A gente vai usar a função degrau
para representar essas duas partes de forma contínua.
Passo 3
A função degrau
é igual a 0 para
e 1 para
. Isso nos ajuda a “ligar” ou “desligar” partes da função em determinados momentos.
Passo 4
Vamos escrever
em termos de
. Para a primeira parte (
), a função é
. A gente pode representar isso como
.
Passo 5
Agora, para a segunda parte (
), a função é constante igual a -1. A gente precisa subtrair essa parte a partir de
. Então, representamos isso como
.
Passo 6
No entanto, como a função original muda de
para -1 em
, a gente também precisa ajustar essa transição. Isso significa que temos que subtrair
a partir de
. Então, fica:
Passo 7
Agora que temos
em termos de funções degrau, vamos calcular a transformada de Laplace. Lembra que a transformada de Laplace de
é
.
Passo 8
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da expressão de
:
- Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é .
Passo 9
Então, juntando tudo:
Resposta
A função
escrita em termos de funções degrau é:
E a sua transformada de Laplace é:
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Descreva o domínio de fe encontre os valores funcionais indicados:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,
(f)
Determine um plano tangente à superficie
, com
, que seja paralelo ao plano
.
Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)