Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Laplace inversa da função:
Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas da transformada, como a transformação de funções deslocadas no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte principal da função sem o termo exponencial:
Sabemos que a Transformada de Laplace da função é:
Então, a transformada inversa de é simplesmente :

Passo 3

Agora, observamos o termo na função original. Esse termo está relacionado a um deslocamento no tempo na Transformada de Laplace. A propriedade que utilizamos aqui é:
Onde:
  • é a função deslocada.
  • é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de .
  • é o deslocamento no tempo.
  • é a transformada de Laplace da função original .

Passo 4

Comparando com a nossa função original, temos . Portanto, aplicando a propriedade de deslocamento, a Transformada de Laplace inversa de será:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão . Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando para e :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A Transformada de Laplace inversa da função dada é:

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Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
Calcule a derivada parcial onde . (Escolha bem a ordem de derivação.)
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular .