Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:
(h)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Laplace inversa da função:
Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas da transformada, como a transformação de funções deslocadas no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte principal da função sem o termo exponencial:
Sabemos que a Transformada de Laplace da função
é:
Então, a transformada inversa de
é simplesmente
:
Passo 3
Agora, observamos o termo
na função original. Esse termo está relacionado a um deslocamento no tempo na Transformada de Laplace. A propriedade que utilizamos aqui é:
Onde:
-
é a função deslocada. -
é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de . -
é o deslocamento no tempo. -
é a transformada de Laplace da função original .
Passo 4
Comparando com a nossa função original, temos
. Portanto, aplicando a propriedade de deslocamento, a Transformada de Laplace inversa de
será:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
. Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando para
e
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa da função dada é:
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Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
(b)
R.:
Calcule a derivada parcial
onde
. (Escolha bem a ordem de derivação.)
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular
.