Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função nos pontos onde ela existir e, depois, comentar sobre a analiticidade dessa função. Estamos trabalhando com funções de variável complexa, então vamos precisar entender um pouco sobre derivadas complexas e as condições para uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em funções de variável complexa, a derivada existe somente se a função for analítica nesse ponto. Para verificar isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações nos dizem as condições que as partes real e imaginária da função devem satisfazer para que a derivada exista.

Passo 3

Vamos separar a função em suas partes real e imaginária:
Onde:

Passo 4

Agora, aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo nas equações de Cauchy-Riemann:
A segunda equação é sempre verdadeira, mas a primeira só será válida se . Isso nos indica que a função é analítica somente nos pontos onde .

Passo 6

Quando a função é analítica nesses pontos, podemos calcular a derivada usando a fórmula:
Já calculamos as derivadas parciais:
Então:

Resposta

A derivada de existe somente nos pontos onde e, nesses pontos, a derivada é . Portanto, é analítica apenas onde .

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