Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
nos pontos onde ela existir e, depois, comentar sobre a analiticidade dessa função. Estamos trabalhando com funções de variável complexa, então vamos precisar entender um pouco sobre derivadas complexas e as condições para uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em funções de variável complexa, a derivada existe somente se a função for analítica nesse ponto. Para verificar isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações nos dizem as condições que as partes real e imaginária da função devem satisfazer para que a derivada exista.
Passo 3
Vamos separar a função
em suas partes real e imaginária:
Onde:
Passo 4
Agora, aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo nas equações de Cauchy-Riemann:
A segunda equação é sempre verdadeira, mas a primeira só será válida se
. Isso nos indica que a função
é analítica somente nos pontos onde
.
Passo 6
Quando a função é analítica nesses pontos, podemos calcular a derivada usando a fórmula:
Já calculamos as derivadas parciais:
Então:
Resposta
A derivada de
existe somente nos pontos onde
e, nesses pontos, a derivada é
. Portanto,
é analítica apenas onde
.
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, onde
é
Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta
utilizando o método dos mínimos quadrados.
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
c) e
.
c)
Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é