Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado , onde é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral onde o contorno é dado por com variando de a . Estamos trabalhando com integrais de linha no plano complexo, e para resolver, vamos precisar usar a parametrização de curvas e a diferenciação de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar o contorno . Aqui, nos diz como o ponto varia conforme vai de a . Isso transforma a integral original em uma integral com respeito a .

Passo 3

Para transformar a integral de para , precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos lá:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Vamos expandir :
Lembrando que , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Vamos multiplicar os termos:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:

Passo 8

Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, sabemos que:
Aplicando para :

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Portanto, a integral vale:

Resposta

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