Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
onde o contorno
é dado por
com
variando de
a
. Estamos trabalhando com integrais de linha no plano complexo, e para resolver, vamos precisar usar a parametrização de curvas e a diferenciação de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar o contorno
. Aqui,
nos diz como o ponto
varia conforme
vai de
a
. Isso transforma a integral original em uma integral com respeito a
.
Passo 3
Para transformar a integral de
para
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos lá:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos expandir
:
Lembrando que
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Vamos multiplicar os termos:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, sabemos que:
Aplicando para
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Passo 10
Portanto, a integral
vale:
Resposta
Exercícios relacionados
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
c) e
.
c)
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
a) .
a)
Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta
utilizando o método dos mínimos quadrados.