Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado integralC z^2 d z, onde C é z(t)=3 t+2 i t, -2 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integralC z^2 dz onde o contorno C é dado por z(t) = 3t + 2i t com t variando de -2 a 2. Estamos trabalhando com integrais de linha no plano complexo, e para resolver, vamos precisar usar a parametrização de curvas e a diferenciação de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar o contorno C. Aqui, z(t) = 3t + 2i t nos diz como o ponto z varia conforme t vai de -2 a 2. Isso transforma a integral original em uma integral com respeito a t.

Passo 3

Para transformar a integral de z para t, precisamos calcular a derivada de z(t) em relação a t, ou seja, z'(t). Vamos lá:
z(t) = 3t + 2i t z'(t) = ddt(3t + 2i t) = 3 + 2i

Passo 4

Agora, substituímos z(t) e z'(t) na integral original:
integralC z^2 dz = integral-2^2 (3t + 2i t)^2 cdot (3 + 2i) dt

Passo 5

Vamos expandir (3t + 2i t)^2:
(3t + 2i t)^2 = (3t)^2 + 2 cdot 3t cdot 2i t + (2i t)^2 = 9t^2 + 12i t^2 + 4i^2 t^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
9t^2 + 12i t^2 - 4t^2 = (9t^2 - 4t^2) + 12i t^2 = 5t^2 + 12i t^2

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral-2^2 (5t^2 + 12i t^2) cdot (3 + 2i) dt
Vamos multiplicar os termos:
(5t^2 + 12i t^2)(3 + 2i) = 5t^2 cdot 3 + 5t^2 cdot 2i + 12i t^2 cdot 3 + 12i t^2 cdot 2i = 15t^2 + 10i t^2 + 36i t^2 + 24i^2 t^2 = 15t^2 + 46i t^2 - 24t^2 = (15t^2 - 24t^2) + 46i t^2 = -9t^2 + 46i t^2

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral-2^2 (-9t^2 + 46i t^2) dt = -9 integral-2^2 t^2 dt + 46i integral-2^2 t^2 dt

Passo 8

Vamos calcular as integrais separadamente. Primeiro, sabemos que:
integral-a^a t^2 dt = 2a^33
Aplicando para a = 2:
integral-2^2 t^2 dt = 2 cdot 2^33 = 163

Passo 9

Substituindo de volta:
-9 cdot 163 + 46i cdot 163 = -48 + 736i3

Passo 10

Portanto, a integral integralC z^2 dz vale:

Resposta

integralC z^2 dz = -48 + 736i3

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