Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado integralC(3 z^2-2 z) d z, onde C é z(t)=t+i t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno específico. A função que vamos integrar é e o contorno é definido por para . Vamos usar conceitos de cálculo complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função complexa ao longo de um contorno. Basicamente, a gente vai substituir a variável por uma função que descreve a trajetória no plano complexo e depois integrar em relação a .

Passo 3

A função que descreve o contorno é dzdt = ddt(t + it^2) = 1 + i cdot 2t = 1 + 2it . Para integrar, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a , que é .
Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, substituímos integralC (3z^2 - 2z) , dz = integral0^1 (3(t + it^2)^2 - 2(t + it^2)) cdot (1 + 2it) , dt e na integral original. A integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral passo a passo.
Primeiro, calcule (t + it^2)^2 = t^2 + 2it^3 + i^2t^4 = t^2 + 2it^3 - t^4 (pois i^2 = -1) :
3(t^2 + 2it^3 - t^4) - 2(t + it^2) = 3t^2 + 6it^3 - 3t^4 - 2t - 2it^2
Agora, substitua de volta na integral:
(3t^2 - 2t - 3t^4) + (6it^3 - 2it^2) = (-3t^4 + 3t^2 - 2t) + i(6t^3 - 2t^2)
Simplificando:
[(-3t^4 + 3t^2 - 2t) + i(6t^3 - 2t^2)] cdot (1 + 2it)
Multiplicando pela -3t^4(1) + -3t^4(2it) + 3t^2(1) + 3t^2(2it) - 2t(1) - 2t(2it) + i6t^3(1) + i6t^3(2it) - i2t^2(1) - i2t^2(2it) :
-3t^4 - 6it^5 + 3t^2 + 6it^3 - 2t - 4it^2 + 6it^3 + 12i^2t^4 - 2it^2 - 4i^2t^3
Vamos distribuir os termos:
-3t^4 - 6it^5 + 3t^2 + 6it^3 - 2t - 4it^2 + 6it^3 - 12t^4 - 2it^2 + 4t^3
Simplificando cada termo:
(-3t^4 - 12t^4) + (3t^2 - 4it^2 - 2it^2) + (-2t) + (-6it^5) + (6it^3 + 6it^3 + 4t^3)
Lembrando que -15t^4 + 3t^2 - 6it^2 - 2t - 6it^5 + 12it^3 + 4t^3 :
integral0^1 (-15t^4 + 3t^2 - 6it^2 - 2t - 6it^5 + 12it^3 + 4t^3) , dt
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:

Resposta

Após integrar cada termo, chegamos ao resultado final:
integralC (3z^2 - 2z) , dz = -3 + i

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