Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado , onde é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno específico. A função que vamos integrar é e o contorno é definido por para . Vamos usar conceitos de cálculo complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função complexa ao longo de um contorno. Basicamente, a gente vai substituir a variável por uma função que descreve a trajetória no plano complexo e depois integrar em relação a .

Passo 3

A função que descreve o contorno é . Para integrar, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a , que é .
Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original. A integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral passo a passo.
Primeiro, calcule :
Agora, substitua de volta na integral:
Simplificando:
Multiplicando pela :
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada termo:
Lembrando que :
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:

Resposta

Após integrar cada termo, chegamos ao resultado final:

Exercícios relacionados

Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.
Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado , onde é
Calcule a derivada de nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de .
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
c) e .