Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno específico. A função que vamos integrar é
e o contorno
é definido por
para
. Vamos usar conceitos de cálculo complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função complexa ao longo de um contorno. Basicamente, a gente vai substituir a variável
por uma função que descreve a trajetória no plano complexo e depois integrar em relação a
.
Passo 3
A função que descreve o contorno é
. Para integrar, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
, que é
.
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original. A integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral passo a passo.
Primeiro, calcule
:
Agora, substitua de volta na integral:
Simplificando:
Multiplicando pela
:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada termo:
Lembrando que
:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Resposta
Após integrar cada termo, chegamos ao resultado final:
Exercícios relacionados
Dado o conjunto de pontos experimentais abaixo, ajuste uma reta
utilizando o método dos mínimos quadrados.
Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é
Calcule a derivada de
nos pontos onde essa existir e comente sobre a analiticidade de
.
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
c) e
.
c)