Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
® y = (ln x)^2 + ln(ln x)
4
Verifique que a função y = x * e^(-x) é solução da equação x y' = (1 - x) y.
5
Verifique que a função y = 1 / (1 + x + ln(x)) é solução da equação x y' = (y ln x - 1) y.
6
Se a e b são constantes quaisquer, verifique que a função y = a * e^(-x) + b * e^(-2 * x) é solução da equação y'' + 3y' + 2y = 0.
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)

4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita

1
Se y = x^2 - raiz(1 + u^2) e u = (x + 1) / (x - 1), calcule d/y d/x.
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre d/y d/x.
(a) y^3 = x + y

Passo 1

Resumo do Enunciado: Queremos calcular a derivada de primeira ordem da função . O conteúdo envolvido inclui derivação de funções compostas e uso da regra da cadeia. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para logaritmos e entender como compor funções para calcular suas derivadas.

Passo 2

Derivando o Primeiro Termo :
Para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é .
Aqui, podemos considerar:
  • Função externa:
  • Função interna:
Primeiro, derivamos a função externa:
Então, a derivada do primeiro termo é:

Passo 3

Derivando o Segundo Termo :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. Aqui, a função composta é:
  • Função externa:
  • Função interna:
Derivando a função externa:
Então, a derivada do segundo termo é:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:

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