Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos
,
e
. A questão pede para provar ou dar um contra-exemplo para a afirmação:
Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união de conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da afirmação está dizendo:
-
e : Isso quer dizer que todos os elementos de estão em E todos os elementos de também estão em . -
: Aqui, a união significa que pegamos todos os elementos que estão em OU em , e a afirmação diz que todos esses elementos também estão em .
Agora, vamos analisar a implicação dupla (
), que significa que as duas partes se implicam mutuamente. Vamos provar cada sentido:
(→) Se
e
, então
:
- Se todo elemento de
está em e todo elemento de está em , então qualquer elemento que esteja em deve estar em , já que ele vem de ou de .
(←) Se
, então
e
:
- Se a união
está dentro de , então todos os elementos de estão em , porque é parte de . - Da mesma forma, todos os elementos de
também estão em .
Portanto, ambos os sentidos da implicação estão valendo.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
, então
, e vice-versa. Assim, a equivalência está provada.