Sejam A, B e C conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) A ⊆ C e B ⊆ C ⇔ A ∪ B ⊆ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos , e . A questão pede para provar ou dar um contra-exemplo para a afirmação:
Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da afirmação está dizendo:
  • e : Isso quer dizer que todos os elementos de estão em E todos os elementos de também estão em .
  • : Aqui, a união significa que pegamos todos os elementos que estão em OU em , e a afirmação diz que todos esses elementos também estão em .
Agora, vamos analisar a implicação dupla ( ), que significa que as duas partes se implicam mutuamente. Vamos provar cada sentido:
(→) Se e , então :
  • Se todo elemento de está em e todo elemento de está em , então qualquer elemento que esteja em deve estar em , já que ele vem de ou de .
(←) Se , então e :
  • Se a união está dentro de , então todos os elementos de estão em , porque é parte de .
  • Da mesma forma, todos os elementos de também estão em .
Portanto, ambos os sentidos da implicação estão valendo.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e , então , e vice-versa. Assim, a equivalência está provada.

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