Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre conjuntos
,
e
. A questão pede para provar ou dar um contra-exemplo para a afirmação:
Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união de conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da afirmação está dizendo:
-
e : Isso quer dizer que todos os elementos de estão em E todos os elementos de também estão em . -
: Aqui, a união significa que pegamos todos os elementos que estão em OU em , e a afirmação diz que todos esses elementos também estão em .
Agora, vamos analisar a implicação dupla (
), que significa que as duas partes se implicam mutuamente. Vamos provar cada sentido:
(→) Se
e
, então
:
- Se todo elemento de
está em e todo elemento de está em , então qualquer elemento que esteja em deve estar em , já que ele vem de ou de .
(←) Se
, então
e
:
- Se a união
está dentro de , então todos os elementos de estão em , porque é parte de . - Da mesma forma, todos os elementos de
também estão em .
Portanto, ambos os sentidos da implicação estão valendo.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
, então
, e vice-versa. Assim, a equivalência está provada.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
®
4
Verifique que a função é solução da equação
.
5
Verifique que a função é solução da equação
.
6
Se e
são constantes quaisquer, verifique que a função
é solução da equação
.
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
®
4
Verifique que a função
5
Verifique que a função
6
Se
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)
4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita
1
Se , calcule
.
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de
. Encontre
.
(a)
Se
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
(a)
(3,0 pontos) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a solução de
para
e
com precisão de
.
BOM TRABALHO!
BOM TRABALHO!
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b) .
(b)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)