Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b) .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos três conjuntos, e . A afirmação a ser avaliada é: se , então . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente de subconjuntos, interseção e diferença entre conjuntos, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em .

Passo 3

Agora, vamos analisar , que representa todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 4

Em seguida, é a interseção entre e . Ou seja, são os elementos que estão tanto em quanto em .

Passo 5

Como , todos os elementos de estão em . Portanto, não pode haver elementos de que estejam em , já que exclui todos os elementos de .

Passo 6

Isso significa que será vazio, ou seja, .

Passo 7

Por outro lado, a afirmação diz que . Mas na verdade, e não iguala a a menos que também seja vazio, o que não necessariamente é o caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando e contém elementos que não estão em . Nesse caso, , diferente de .

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) e .
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
®
4
Verifique que a função é solução da equação .
5
Verifique que a função é solução da equação .
6
Se e são constantes quaisquer, verifique que a função é solução da equação .
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)

4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita

1
Se , calcule .
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(a)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
Uma função real é dita crescente se implica que . Analogamente, uma função é dita se decrescente se se implica que .
(a) Determine os intervalos em que uma função é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.