Sejam A, B e C conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b) A ⊆ B => A ∩ (C - B) = C.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos três conjuntos, e . A afirmação a ser avaliada é: se , então . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente de subconjuntos, interseção e diferença entre conjuntos, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em .

Passo 3

Agora, vamos analisar , que representa todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 4

Em seguida, é a interseção entre e . Ou seja, são os elementos que estão tanto em quanto em .

Passo 5

Como , todos os elementos de estão em . Portanto, não pode haver elementos de que estejam em , já que exclui todos os elementos de .

Passo 6

Isso significa que será vazio, ou seja, .

Passo 7

Por outro lado, a afirmação diz que . Mas na verdade, e não iguala a a menos que também seja vazio, o que não necessariamente é o caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando e contém elementos que não estão em . Nesse caso, , diferente de .

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