Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos três conjuntos,
e
. A afirmação a ser avaliada é: se
, então
. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente de subconjuntos, interseção e diferença entre conjuntos, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
, que representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 4
Em seguida,
é a interseção entre
e
. Ou seja, são os elementos que estão tanto em
quanto em
.
Passo 5
Como
, todos os elementos de
estão em
. Portanto, não pode haver elementos de
que estejam em
, já que
exclui todos os elementos de
.
Passo 6
Isso significa que
será vazio, ou seja,
.
Passo 7
Por outro lado, a afirmação diz que
. Mas na verdade,
e não iguala a
a menos que
também seja vazio, o que não necessariamente é o caso.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando
e
contém elementos que não estão em
. Nesse caso,
, diferente de
.