Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos três conjuntos,
e
. A afirmação a ser avaliada é: se
, então
. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente de subconjuntos, interseção e diferença entre conjuntos, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
, que representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 4
Em seguida,
é a interseção entre
e
. Ou seja, são os elementos que estão tanto em
quanto em
.
Passo 5
Como
, todos os elementos de
estão em
. Portanto, não pode haver elementos de
que estejam em
, já que
exclui todos os elementos de
.
Passo 6
Isso significa que
será vazio, ou seja,
.
Passo 7
Por outro lado, a afirmação diz que
. Mas na verdade,
e não iguala a
a menos que
também seja vazio, o que não necessariamente é o caso.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando
e
contém elementos que não estão em
. Nesse caso,
, diferente de
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) e
.
(a)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
®
4
Verifique que a função é solução da equação
.
5
Verifique que a função é solução da equação
.
6
Se e
são constantes quaisquer, verifique que a função
é solução da equação
.
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
®
4
Verifique que a função
5
Verifique que a função
6
Se
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)
4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita
1
Se , calcule
.
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de
. Encontre
.
(a)
Se
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
(a)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)
Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(a) Determine os intervalos em que uma função é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
(a) Determine os intervalos em que uma função