& 3 ointC(x d x+y d y+z^2 d z) , onde C é o perímetro do & retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4, z=4 , no sentido & anti-horário éíâá

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha fechada, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho específico. O problema nos dá uma função com , e , e o caminho é o perímetro de um retângulo no plano com constante igual a 4. Vamos usar cálculo de integrais de linha e algumas propriedades de integrais fechadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que precisamos integrar:
ointC(x , dx + y , dy + z^2 , dz)
Como ointC(x , dx + y , dy) é constante ao longo do caminho , a derivada de em relação a qualquer direção será zero, ou seja, . Então, a expressão simplifica para:
Agora, nossa tarefa é calcular essa integral ao longo do contorno do retângulo definido por e .

Passo 3

Vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais fechadas. A integral de um diferencial exato ao longo de um caminho fechado é zero. Ou seja, se conseguimos escrever nossa expressão d(x^22 + y^22) = x , dx + y , dy como a derivada de alguma função, então a integral ao redor de um caminho fechado será zero.
Podemos notar que:
Isso significa que nossa expressão dentro da integral é o diferencial de .

Passo 4

Aplicando essa ideia, temos:
ointC d(x^22 + y^22) = 0
Pois a integral de um diferencial exato ao redor de um caminho fechado sempre cancela, não importa o caminho específico, desde que ele seja fechado.

Resposta

A integral vale zero, ou seja:
ointC(x , dx + y , dy + z^2 , dz) = 0

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