Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha fechada, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho específico. O problema nos dá uma função com
,
e
, e o caminho
é o perímetro de um retângulo no plano
com
constante igual a 4. Vamos usar cálculo de integrais de linha e algumas propriedades de integrais fechadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que precisamos integrar:
Como
é constante ao longo do caminho
, a derivada de
em relação a qualquer direção será zero, ou seja,
. Então, a expressão simplifica para:
Agora, nossa tarefa é calcular essa integral ao longo do contorno do retângulo definido por
e
.
Passo 3
Vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais fechadas. A integral de um diferencial exato ao longo de um caminho fechado é zero. Ou seja, se conseguimos escrever nossa expressão
como a derivada de alguma função, então a integral ao redor de um caminho fechado será zero.
Podemos notar que:
Isso significa que nossa expressão dentro da integral é o diferencial de
.
Passo 4
Aplicando essa ideia, temos:
Pois a integral de um diferencial exato ao redor de um caminho fechado sempre cancela, não importa o caminho específico, desde que ele seja fechado.
Resposta
A integral vale zero, ou seja:
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Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f?
Ex DeTERMINAR Rot
(3,0 pontos) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a solução de
para
e
com precisão de
.
BOM TRABALHO!
BOM TRABALHO!
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
®
4
Verifique que a função é solução da equação
.
5
Verifique que a função é solução da equação
.
6
Se e
são constantes quaisquer, verifique que a função
é solução da equação
.
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
®
4
Verifique que a função
5
Verifique que a função
6
Se
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)
4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita
1
Se , calcule
.
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de
. Encontre
.
(a)
Se
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente,
(a)