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Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha fechada, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho específico. O problema nos dá uma função com , e , e o caminho é o perímetro de um retângulo no plano com constante igual a 4. Vamos usar cálculo de integrais de linha e algumas propriedades de integrais fechadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que precisamos integrar:
Como é constante ao longo do caminho , a derivada de em relação a qualquer direção será zero, ou seja, . Então, a expressão simplifica para:
Agora, nossa tarefa é calcular essa integral ao longo do contorno do retângulo definido por e .

Passo 3

Vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais fechadas. A integral de um diferencial exato ao longo de um caminho fechado é zero. Ou seja, se conseguimos escrever nossa expressão como a derivada de alguma função, então a integral ao redor de um caminho fechado será zero.
Podemos notar que:
Isso significa que nossa expressão dentro da integral é o diferencial de .

Passo 4

Aplicando essa ideia, temos:
Pois a integral de um diferencial exato ao redor de um caminho fechado sempre cancela, não importa o caminho específico, desde que ele seja fechado.

Resposta

A integral vale zero, ou seja:

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Os campos abaixo são conservativos? Se sim, qual é a função escalar f?
Ex DeTERMINAR Rot
(3,0 pontos) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a solução de para e com precisão de .
BOM TRABALHO!
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
®
4
Verifique que a função é solução da equação .
5
Verifique que a função é solução da equação .
6
Se e são constantes quaisquer, verifique que a função é solução da equação .
7
Os gráficos da coluna da esquerda são das derivadas das funções cujos gráficos estão na coluna da direita. Faça a correspondência, numerando, convenientemente, a coluna da direita.
(1)

4.3 Regra da Cadeia e Derivação Implícita

1
Se , calcule .
2
Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, como função de . Encontre .
(a)