Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
, no ponto de abscissa
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica! Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal à curva dada por
no ponto onde a abscissa
. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para encontrar a inclinação das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva onde
. Basta substituir
na função:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Lembrando que
, a derivada fica:
Passo 4
Substituímos
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto
com inclinação
:
Para a reta tangente:
Para a reta normal:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
c)
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g)
g)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f)
f)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
k)
k)