Encontre as equações das retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica! Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal à curva dada por no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos usar conceitos de derivada para encontrar a inclinação das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva onde . Basta substituir na função:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Lembrando que , a derivada fica:

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com inclinação :
Para a reta tangente:
Para a reta normal:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
k)