Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente derivadas, para achar a inclinação dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico onde . Para isso, substituímos em :
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função avaliada em .
A derivada de é:
Substituindo :
Essa é a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Com a inclinação da tangente em mãos, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula do ponto inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo:
Podemos simplificar essa equação se quisermos, mas está correta assim.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação da tangente.
A inclinação da tangente é , então a inclinação da normal é:

Passo 6

Usando novamente a fórmula do ponto inclinação para a reta normal, temos:
Essa é a equação da reta normal no ponto .

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

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Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f)