Considere a função f definida por f(x) = { x^2, x <= 1; 2, x > 1 }.
b) f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Mais tecnicamente, para ser contínua em , três condições precisam ser satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida? Olhando a função, para , temos . Então, . Tá definido sim!

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, valores de menores que 1. Nesse caso, usamos . Então:

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, valores de maiores que 1. Aqui, a função é constante: . Então:

Passo 6

Agora, vamos ver se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Vimos que:
Como 1 é diferente de 2, o limite geral de quando se aproxima de 1 não existe.

Passo 7

Já que o limite de quando se aproxima de 1 não existe (os limites laterais são diferentes), a função não atende à segunda condição de continuidade. Portanto, não é contínua em .

Resposta

Não, a função não é contínua em .

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