Considere a função
definida por
.
b)
é contínua em
?
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Mais tecnicamente, para
ser contínua em
, três condições precisam ser satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
está definida? Olhando a função, para
, temos
. Então,
. Tá definido sim!
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, valores de
menores que 1. Nesse caso, usamos
. Então:
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja, valores de
maiores que 1. Aqui, a função é constante:
. Então:
Passo 6
Agora, vamos ver se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Vimos que:
Como 1 é diferente de 2, o limite geral de
quando
se aproxima de 1 não existe.
Passo 7
Já que o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe (os limites laterais são diferentes), a função não atende à segunda condição de continuidade. Portanto,
não é contínua em
.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
.
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.
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