Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = ((t-3)/(t+1), t * e^(2 * t), t^(3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais para encontrar essa derivada. Para isso, precisamos derivar cada componente da função vetorial em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente da função vetorial:
Para derivar essa fração, podemos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
(pela regra da cadeia)
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente:
Essa é uma função polinomial simples. A derivada de é :

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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