Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar a curva parametrizada dada por
e também encontrar o vetor tangente nos valores de
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como calcular vetores tangentes usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva parametrizada. A equação
nos dá duas funções:
e
. Isso significa que para cada valor de
, a posição na curva é determinada por essas duas coordenadas.
Passo 3
Para esboçar a curva, podemos eliminar o parâmetro
. Sabemos que
, então podemos substituir
por
na equação de
:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para baixo no eixo y.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a curva
:
- O vértice da parábola está no ponto
. - Como a parábola abre para cima, os braços da parábola se afastam à medida que
aumenta ou diminui. - Podemos plotar alguns pontos adicionais substituindo valores de
na equação: - Para
, . - Para
, . - Para
, . - Para
, .
- Para
Com esses pontos, conseguimos traçar a parábola no plano cartesiano.
Passo 5
Agora vamos determinar o vetor tangente na curva para os valores de
e
. O vetor tangente a uma curva em um ponto é dado pela derivada da função vetorial
em relação a
, ou seja,
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
:
Calculando cada componente:
Então, o vetor tangente é:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores de
e
na expressão do vetor tangente:
Para
:
Para
:
Resposta
O vetor tangente à curva
nos pontos correspondentes a
e
são, respectivamente,
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
Considere a região
delimitada pelas curvas
e
, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta
. (a) Determine o volume do sólido obtido quando a região
é revolucionada em torno do eixo
.
Encontre os valores de
para quaia
e
são ortogonais.
Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.