Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (t, t^2 - 1), t = 1, t = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar a curva parametrizada dada por e também encontrar o vetor tangente nos valores de e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como calcular vetores tangentes usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva parametrizada. A equação nos dá duas funções: e . Isso significa que para cada valor de , a posição na curva é determinada por essas duas coordenadas.

Passo 3

Para esboçar a curva, podemos eliminar o parâmetro . Sabemos que , então podemos substituir por na equação de :
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para baixo no eixo y.

Passo 4

Agora, vamos esboçar a curva :
  1. O vértice da parábola está no ponto .
  2. Como a parábola abre para cima, os braços da parábola se afastam à medida que aumenta ou diminui.
  3. Podemos plotar alguns pontos adicionais substituindo valores de na equação:
    • Para , .
    • Para , .
    • Para , .
    • Para , .
Com esses pontos, conseguimos traçar a parábola no plano cartesiano.

Passo 5

Agora vamos determinar o vetor tangente na curva para os valores de e . O vetor tangente a uma curva em um ponto é dado pela derivada da função vetorial em relação a , ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular a derivada de :
Calculando cada componente:
Então, o vetor tangente é:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores de e na expressão do vetor tangente:
Para :
Para :

Resposta

O vetor tangente à curva nos pontos correspondentes a e são, respectivamente, e .

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