Determine todos os valores de t para quais a função vetorial é contínua.
r(t) = (ln(t + 1), t, raiz(1 - t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar todos os valores de em que a função vetorial é contínua. A matéria envolvida aqui é Continuidade de Funções Vetoriais. Para resolver, precisamos analisar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . Sabemos que o logaritmo natural só está definido quando o argumento é positivo. Então, temos que:
Isso significa que para ser contínuo, precisa ser maior que .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Essa é uma função polinomial simples, e polinômios são contínuos para todo valor real de . Então, não há restrições aqui.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: . A raiz quadrada está definida quando o radicando é maior ou igual a zero. Portanto:
Então, para ser contínua, deve ser menor ou igual a .

Passo 5

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
Isso significa que deve estar no intervalo aberto de até (1], ou seja:

Resposta

A função vetorial é contínua para todos os valores de no intervalo .

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lim t 0(cos t, t^2+3, tan t)
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r(t) = ((t-3)/(t+1), t * e^(2 * t), t^(3))