Encontre os valores de
para quaia
e
são ortogonais.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem o seguinte exercício:
Enunciado: Encontre os valores de
para os quais
e
são ortogonais.
Matéria envolvida: Aqui estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e com a derivada de vetores. Vamos precisar saber o que significa dois vetores serem ortogonais (ou seja, perpendiculares) e como calcular o produto escalar entre eles para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
, que é
. A derivada de um vetor dá a taxa de variação do vetor em relação a
.
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, para verificar se
e
são ortogonais, precisamos calcular o produto escalar deles. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.
O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Então, vamos calcular
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, para que
e
sejam ortogonais, precisamos que:
Então:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
A única solução real para essa equação é:
Resposta
O valor de
para o qual
e
são ortogonais é
.
Exercícios relacionados
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.