Considere a região
delimitada pelas curvas
e
, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta
. (a) Determine o volume do sólido obtido quando a região
é revolucionada em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem uma região
no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
, e está abaixo da reta
. A tarefa é encontrar o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método de discos ou anéis, que envolve integrar a área das “fatias” do sólido ao longo do eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as curvas
e
se encontram no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
Então,
ou
. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a interseção com a reta
. Vamos encontrar os pontos onde
e
se encontram:
Portanto, a região
está delimitada entre
e
, já que é nesse intervalo que está abaixo da reta
.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método de discos, precisamos encontrar a área da seção transversal em qualquer ponto
dentro do intervalo. A fórmula geral para o volume é:
Onde
é a função que está mais acima e
a que está mais abaixo no intervalo.
Passo 5
Identificamos que, no intervalo
, a função
está acima de
. Então, aplicando na fórmula:
Simplificando as potências:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, substituindo na integral:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar as frações:
Então:
Passo 9
Simplificando a fração:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido obtido ao revolver a região
em torno do eixo
é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.
Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
e
em torno do eixo
.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.