Considere a região R delimitada pelas curvas y = x^3 e y = 2 x, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta y = 2 - x. (a) Determine o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem uma região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas e , e está abaixo da reta . A tarefa é encontrar o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método de discos ou anéis, que envolve integrar a área das “fatias” do sólido ao longo do eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as curvas e se encontram no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
Então, ou . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a interseção com a reta . Vamos encontrar os pontos onde e se encontram:
Portanto, a região está delimitada entre e , já que é nesse intervalo que está abaixo da reta .

Passo 4

Para calcular o volume usando o método de discos, precisamos encontrar a área da seção transversal em qualquer ponto dentro do intervalo. A fórmula geral para o volume é:
Onde é a função que está mais acima e a que está mais abaixo no intervalo.

Passo 5

Identificamos que, no intervalo , a função está acima de . Então, aplicando na fórmula:
Simplificando as potências:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, substituindo na integral:

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Calculando cada termo:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar as frações:
áá
Então:

Passo 9

Simplificando a fração:
Multiplicando por :
ú

Resposta

O volume do sólido obtido ao revolver a região em torno do eixo é aproximadamente unidades cúbicas.

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