Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (t, t, t^3 - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de para os quais a derivada do vetor posição é paralela a três planos diferentes: (i) o plano , (ii) o plano , e (iii) o plano . Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas de vetores e a condição para que um vetor seja paralelo a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função dada é:
Derivando cada componente em relação a , temos:
Essa é a taxa de variação do vetor posição em relação a .

Passo 3

Agora, vamos entender quando um vetor é paralelo a um plano. Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal desse plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular a todo o plano.
Para cada plano, identificamos o vetor normal:
  1. Plano : O vetor normal é porque ele aponta na direção .
  2. Plano : O vetor normal é porque ele aponta na direção .
  3. Plano : Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal. Reescrevendo a equação do plano na forma padrão , o vetor normal é .

Passo 4

Vamos agora aplicar a condição de perpendicularidade. Se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Então, para ser paralelo a cada plano, o produto escalar com o vetor normal do plano deve ser zero.
  1. Para o plano :
Resolvendo :
  1. Para o plano :
Aqui, vemos que a equação não tem solução, ou seja, não existe valor de que satisfaça essa condição.
  1. Para o plano :
Nesse caso, a equação já se satisfaz para qualquer valor de .

Resposta

(i) ;
(ii) Não existe valor de que satisfaça;
(iii) Qualquer valor de .

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r(t) = (cos(t), sen(t))
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integral(t cos 3 t, t sen t^2, e^2 t) d t
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