Encontre os valores de
para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
para os quais a derivada do vetor posição
é paralela a três planos diferentes: (i) o plano
, (ii) o plano
, e (iii) o plano
. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas de vetores e a condição para que um vetor seja paralelo a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A função dada é:
Derivando cada componente em relação a
, temos:
Essa é a taxa de variação do vetor posição em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos entender quando um vetor é paralelo a um plano. Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal desse plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular a todo o plano.
Para cada plano, identificamos o vetor normal:
- Plano
: O vetor normal é porque ele aponta na direção . - Plano
: O vetor normal é porque ele aponta na direção . - Plano
: Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal. Reescrevendo a equação do plano na forma padrão , o vetor normal é .
Passo 4
Vamos agora aplicar a condição de perpendicularidade. Se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Então, para
ser paralelo a cada plano, o produto escalar com o vetor normal do plano deve ser zero.
- Para o plano
:
Resolvendo
:
- Para o plano
:
Aqui, vemos que a equação
não tem solução, ou seja, não existe valor de
que satisfaça essa condição.
- Para o plano
:
Nesse caso, a equação já se satisfaz para qualquer valor de
.
Resposta
(i)
;
(ii) Não existe valor de
que satisfaça;
(iii) Qualquer valor de
.
Exercícios relacionados
Encontre os valores de
para quaia
e
são ortogonais.
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Calcule as seguintes integrais.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.