Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (t^4, raiz(t + 1), 3/t^2)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada da função vetorial . Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções vetoriais, onde a gente deriva cada componente da função separadamente. Vamos precisar saber como derivar funções com potências, raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o primeiro componente: . Para derivar uma potência, usamos a regra do expoente, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do expoente em , temos:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo componente: . A raiz quadrada pode ser escrita como . Para derivar, usamos a regra da potência junto com a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 5

Derivando usando a regra da potência:
Como , simplificamos para:

Passo 6

Por último, vamos derivar o terceiro componente: . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação usando a regra do expoente.

Passo 7

Aplicando a regra do expoente em :

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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