Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (t, t, t^2 - 1), t = 0, t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar uma curva parametrizada e determinar o vetor tangente nos valores de e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre curvas parametrizadas e vetores tangentes. Vamos precisar saber como derivar funções vetoriais para encontrar os vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva parametrizada . Essa função nos dá as coordenadas e em função de . Para esboçar a curva, podemos analisar como cada coordenada varia com :
  • : cresce linearmente com .
  • : igual a .
  • : é uma parábola em relação a .
Então, a curva é uma espécie de paraboloide onde e aumentam linearmente e varia quadraticamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente. O vetor tangente a uma curva em um ponto é dado pela derivada da função vetorial em relação a . Vamos calcular :
Derivando cada componente em rela��ão a :
Então, o vetor tangente geral é .

Passo 4

Vamos agora determinar o vetor tangente para e .
Para :
Para :

Resposta

O vetor tangente à curva é:
  • Para :
  • Para :

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