Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar uma curva parametrizada e determinar o vetor tangente nos valores de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre curvas parametrizadas e vetores tangentes. Vamos precisar saber como derivar funções vetoriais para encontrar os vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva parametrizada
. Essa função nos dá as coordenadas
e
em função de
. Para esboçar a curva, podemos analisar como cada coordenada varia com
:
-
: cresce linearmente com . -
: igual a . -
: é uma parábola em relação a .
Então, a curva é uma espécie de paraboloide onde
e
aumentam linearmente e
varia quadraticamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente. O vetor tangente a uma curva em um ponto é dado pela derivada da função vetorial
em relação a
. Vamos calcular
:
Derivando cada componente em rela��ão a
:
Então, o vetor tangente geral é
.
Passo 4
Vamos agora determinar o vetor tangente para
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
O vetor tangente à curva
é:
- Para
: - Para
:
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por
Calcule
.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
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.